Número complexos

O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com esta questão, até a concepção do modelo dos números complexo. Um número complexo é um número que pode ser escrito na forma , em que e são números reais e denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade , sendo que e são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de .

O conjunto dos números complexos, denotado por , contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de mesma denominação nos números reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo algebricamente fechado, sendo que esse fechamento consiste na propriedade que tem o conjunto de possuir todas as soluções de qualquer equação polinomial com coeficientes naquele mesmo conjunto (no caso, o conjunto dos complexos). O conjunto dos números complexos também pode ser entendido por seu isomorfismo com um espaço vetorial sobre , o conjunto dos reais.

Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por:.

O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial, conduz a um espaço normado topologicamente completo.

Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real, , no eixo horizontal e a parte imaginária, , no eixo vertical.

Quatro Operações com Complexos

Consideremos os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di ou, na forma trigonométrica,
z1 = r1cisq1 e z2 = r2cisq2


Adição

Algebricamente, a soma é na forma: z1 + z2 = a + c + (b + d)i

Na notação trigonométrica não há como simplificar.

De notar que, se z e w forem dois complexos: z + w = w + z.



Considerando os números como vectores, geometricamente, a soma de complexos não passa da soma dos vectores que os representam pela "regra do paralelogramo".


Subtração

A subtração de z1 por z2 não é mais que a soma de z1 com o simétrico de z2, ou seja,
z1 - z2 = z1 + (-z2).



Geometricamente, considerando os números como vectores, a subtracção corresponde à adição do primeiro vector com o simétrico do segundo vector.


Multiplicação

O produto de z1 por z2 é o número complexo
z1.z2 = (ac - bd) + (ad + cb)i

ou, na forma trigonométrica z1.z2 = r1r2cis(q1 + q2)

Vejamos a interpretação geométrica do produto de dois complexos, z1 = a + ib e z2 = c + id. Esta operação não corresponde, directamente, a nenhuma operação conhecida entre vectores.

Suponhamos que z2 é um número real, isto é, que d = 0; então o produto de z1 por z2 corresponde ao produto do vector (a, b) pelo número real c. Se c>0, então esta operação corresponde a uma dilatação de razão c do vector z1 e se c<0 corresponde a uma dilatação de razão |c| do mesmo vector, seguida de uma rotação de 180º de centro na origem.

Consideremos, agora, que z2 = i. Neste caso o produto do complexo a + bi por i corresponde à rotação de 90º no sentido directo (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio) e em torno da origem do vector (a, b), obtendo-se o vector (-b, a).

O produto de um complexo a + bi por um imaginário puro ki combina as duas operações anteriores: o produto do vector (a, b) por k, seguido de uma rotação de 90º no sentido directo em torno da origem do vector obtido.

Estas operações podem ser facilmente visualizadas na figura seguinte:

Vejamos agora o produto de um complexo a + bi pelo complexo c + di. Este produto é equivalente a c ´ (a + bi) + di ´ (a + bi), por isso vectorialmente corresponde a:


1. determinar o produto do vector (a,b) pelo número real c; 

2. determinar o produto do vector (a, b) pelo número real d e fazer uma rotação de 90º ao vector obtido

3. adicionar os vectores obtidos em 1. e 2.

Divisão

O quociente entre z1 e z2 é o produto de z1 pelo inverso de z2, ou seja, z1/z2 = z1.z2-1

Na prática, basta multiplicar e dividir z1 por z2 


Potenciação

Chamamos potenciação a uma potência de expoente inteiro.

Tem-se: zn = z . z . ... . z (n vezes), n natural e, na forma trigonométrica zn = rn.cis(nq).

Radiciação

Chamamos radiciação a uma potência de expoente fraccionário.

Cada número complexo tem n raízes índice n, ou seja, a radiciação de números complexos dá-nos um conjunto de raízes.

Observemos que as raízes índice n de um número complexo z são as soluções da equação

wn = z

que, no corpo dos complexos, tem n raízes.


Sendo z = rcis q, as raízes índice n de z são dadas pela fórmula de de Moivre para a radiciação: