Videos Complexxs Numbers

Vídeos Complexx Numbers

  Usuários do blog esta é uma postagem especialmente feita para você acompanhar desde o que é números complexos a suas aplicações no cotidiano e na sala de aula.

  Atenção todos os vídeos foram autorizados, e reservados autoria : Coplexx Numbers

 .  Winrlan Gomes explicando a aplicação na engenharia elétrica como matéria de curso:

                                         

                                          http://www.youtube.com/watch?v=iK8LcxoCuqI&feature=plcp

  Eng. Eletricista Helder Barbosa explicando a aplicação de número complexos em cálculos fasoriais.

  Introdução a números complexos Prof° Rondinelli Oliveira:

     http://youtu.be/mIKiV3zKQ1g

  Tirando dúvidas com João Vitor Barbosa com o tema sinais:

                                     http://www.youtube.com/watch?v=g2R2TAxpUWY&feature=plcp

  Conjugado e potenciação com Prof° Rondinelli Oliveira:

                                   http://www.youtube.com/watch?v=36r72MbDQvA&feature=plcp

  .  Módulo com Prof° Rondinelli Oliveira:

Divulgação e Parceria

  Bem galera, essa é para quem está interessado em ficar conectado,preparamos para você, uma novidade: Complexx Number no face, agora você fica por dentro dos bastidores do nosso blog conectado no Facebook a rede social que mas cresce no Brasil. Confira aqui os prints do que está sendo postado diáriamente, vídeos, citações matemáticas, informações sobre livros e muito mais .

 Postado no dia em que fizemos o vídeo com o Engenheiro Helder Barbosa

 

Comentários deixados na página do blog por usuários como: Danilo Cavalcante

                                                     

 Capa da nossa página no Facebook

                                                         

 Confira detalhes das entrevistas  com o professor: Rondinelli Oliveira

E assim como um dos nossos usuários: Eduardo Kanner, deixe seu comentário na nossa página

                                   

Curta,poste e Compartihe...
http://www.facebook.com/ComplexxNumbers

Considerações Finais 

   Agradecemos a todos que contribuiram para o andamento do nosso blog, professores, alunos e exalunos do IFPA Campus Tucuruí. O assunto números complexos vai si encerrando por aqui mas a página do facebook e do blog ainda será atualizada diariamente. 

Continuamos contando com a sua colaboração. 

Complexx Numbers, seu futuro começa AQUI!!

Entreterimento

Atividade : “Dominó dos Complexos”

Disposição dos Jogadores:

          Em grupos de 6 ou 7 alunos, mas as jogadas são individuais.
Material Necessário:          Um jogo de peças para cada grupo (essas peças poderão ser confeccionadas pelo professor, ou pelos próprios alunos, seguindo o modelo abaixo).


          Desenvolvimento:          Nessa adaptação do jogo “dominó” os alunos deverão juntar as peças, de forma que se una cada número ao seu oposto ou conjugado. Por exemplo:

          Assim como no dominó tradicional vence aquele que conseguir colocar todas suas peças em jogo.
Objetivo:          Perceber se os alunos conseguem identificar e diferenciar o oposto e o conjugado de um número complexo.          Após a atividade o professor poderá trabalhar com os alunos o conceito de Igualdade entre números complexos, ressaltando que dois números complexos são iguais se, e somente se, as partes reais são iguais e as partes imaginárias são iguais, ou seja,

a + bi = c + di a = c e b = d          Dando início ao trabalho com as operações com números complexos, podem ser definidas as operações de adição e subtração.          Adição: ao somarmos dois números complexos adicionamos a parte real do primeiro a parte real do segundo e a parte imaginária do primeiro a parte imaginária do segundo,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i          Subtração: para reali zar a subtração entre dois números basta somarmos o primeiro ao oposto do segundo,

(a + bi) - (c + di) = (a + bi) + (-c - di) = (a - c) + (b - d)i          

Oposto e Conjugado

Oposto, conjugado e igualdade de números complexos. 
  

        Para determinarmos o oposto, o conjugado e a igualdade de qualquer número complexo precisamos conhecer alguns fundamentos.
          Oposto          O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.          Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será:
- z = - 8 + 6i.          Conjugado          Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária. O conjugado de z = a + bi será:

          Exemplo:
z = 5 – 9i, o seu conjugado será:

z = – 2 – 7i, o seu conjugado será          Igualdade          Dois números complexos serão iguais se, e somente se, respeitarem a seguinte condição:
Partes imaginárias iguais
Partes reais iguais          Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d e bi = ei.
          Observações:          A soma de números complexos opostos será sempre igual a zero.
z + (-z) = 0.          O conjugado do conjugado de um número complexo será o próprio número complexo.
          Não existe relação de ordem no conjunto dos números complexos, então não podemos estabelecer quem é maior ou menor.

Exemplo 1          Dado o número complexo z = - 2 + 6i, calcule o seu oposto, o seu conjugado e o oposto do conjugado.

Oposto
- z = 2 - 6i

Conjugado


Oposto do conjugado



Exemplo 2

Determine a e b de modo que .



-2 + 9i = a - bi          Precisamos estabelecer a propriedade da relação de igualdade entre eles. Então:

a = - 2
b = - 9

Quetoes 1

Números Complexos

Questões Resolvidas 1

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i


02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i


03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos


04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1


05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2


06. A potência (1 - i )16 equivale a:

a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256


07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a: 

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1


08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5


09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.


10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x8 - 17x4 + 16 = 0.



Resolução: 01. C    02. C    03. C    04. A    05. E    06. E    07. E     

08. D    09. 3 - 2i; -3 + 2i 10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

Questoes 2

Números Complexos

Questões Resolvidas 2

 1) (FAAP) Calcular o quociente: 1+i2−1

2) (VUNESP) Sendo i a unidade imaginária, o valor de (1+i1−i)4 é:
a) -1
b) –i
c) 2i
d) i
e) 1 

3) (MACK) O número (1+i)10 é igual a:
a) 32i
b) -32i
c) 32 + 10i
d) 32-10i
e) 10i 

4) O valor de i246+i121i34 é:
a) i
b) 2i
c) -1
d) 1 – i
e) 2 

5) (MACK) A solução da equação |Z| + Z = 2 + i é um número complexo de módulo:
a) 5/4
b) 5√
c) 1
d) 5√2
e) 5/2 

6) O número complexo 2z, tal que 5z + Z¯¯¯= 12 + 6i é: 

7) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240

8 ) (UFES) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) 1/2 - (3/2)i 

9) Qual é o valor de m para que o produto de (2 + mi).(3 + i) seja imaginário puro?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 10 

10) Encontre os números reais x e y de modo que (3x + 4yi) + (5 + 6i) = 11 + 18i. 

1-GAB 1+3i5 
2-GAB E 

3-GAB A 

4-GAB D 
5-GAB A 
6-GAB Z = 4 + 3i 

7-GAB: 1+2i 

8-GAB B 
9-GAB B 
10-GAB : x = 2 e y = 3

POEMAS E POESIA

      Leia aqui alguns poemas e poesia relacionados aos números complexos e algo a mais sobre matemática:

Romance Matemático

abril 4, 2010 às 8:46 pm

Dê-me o silêncio…
Para eu dizer que nosso romance é como uma equação
Em que ponho-me, insistentemente;
A descobrir o valor de sua incógnita.
Dê-me o silêncio…
Para eu derrubar todos os axiomas;
Que insistem em dizer que nosso amor é impossível.
Dê-me o silêncio…
Para eu dizer que você é o pivô de minha matriz escalonada;
Que cada virtude que encontro em você
É um determinante para nossa relação.
Dê-me o silêncio…
Para eu dizer que a função que rege minha vida
Consiste em que cada elemento do seu domínio
Está associado a um elemento de meu contra-domínio.
Dê-me o silêncio…
Para eu te mostrar que nossas retas paralelas se encontrarão no infinito.
Dê-me o silêncio…
Para eu dizer que quando contemplo a imagem de seu corpo,
Meus batimentos cardíacos modelam uma cossenóide.
Dê-me o silêncio…
Para te provar que embora sejamos ângulos opostos pelo vértice,
nossas medidas são iguais.
Nesse instante me calo e quem diz tudo é você.

Andreson Costa dos Santos Souza e Alex Bruno Carvalho dos Santos

O Quociente

abril 4, 2010 às 8:47 pm

O quociente perguntou à secante:
- Posso ser seu amante?
Ela, de pronto, respondeu:
- Nunca! Já tenho um amor,
- É o terno denominador…

Logo, então, se sentiu um resto.
Não era mais um número inteiro…
Passou, então, por perto a tangente,
Que caminhava para o infinito
Para se encontrar sabe lá com quem.
Perguntou aflito:
- Onde poso encontrar as paralelas?
Ela, então, respondeu:
- Talvez nunca.

Surgiu, então, do menos infinito, a esfera.
Bela e radiosa, logo esqueceu a secante.
Calculou seu manequim,
Mas se achou muito pequeno para tanto volume…

O quociente ficou triste,
Transformou-se em um número complexo
E numa relação unívoca,
Partiu para o esquecimento,
Tornando-se um ângulo obtuso.

André M. Hemerly

Amormetria

abril 4, 2010 às 8:58 pm

(Autor Desconhecido)

Dê-me um apoio (centro)
Num piscar de olhos me transformo em um compasso
Giro 90º, 180º, 270º, 360º graus
Volta completa na circunferência chamada vida.

Dê-me uma régua ou uma trena
Com ela conseguirei medir ou não nossa distância
Que parece infinita.

Dê-me um transferidor para medirmos os graus do nosso amor.
Um esquadro
Quem sabe ele possa nos enquadrar.

Dê-me um ponto
Por ele passarei infinitos segmentos de sentimentos
Paixão, amor, raiva, ressentimento, gratidão…

Só não me limite com dois pontos
Pois, não saberia que segmento de sentimento
Passaria por eles.

Edi Santana Barbosa
Professor da rede Estadual e municipal de Juazeiro BA
Pós-graduado em Metodologia e Didática do Ensino Superior.




  Equacionando o amor

	Considerando a seguinte afirmação: O amor é o produto de um homem com uma mulher. Chamando eu (o homem) de a e você (a mulher) de b, temos: amor = a*b Agora, se somarmos a segunda potência do homem com a segunda potência da mulher e o amor de cada um formaremos o trinômio quadrado perfeito: a*a + 2*a*b + b*b Porém, se extrairmos a raiz quadrada dessa equação irá sobrar apenas eu e você, ou seja, irá sobra a+b, pois (a+b)*(a+b) = a*a + 2*a*b + b*b. Agora eu pergunto: Cadê o amor? Será que ele não existe? A resposta é essa: O amor existe, mas não podemos vê-lo porque está em nossos corações. Amo-te muito, mesmo que você não perceba, não quer dizer que este amor não exista. Renato Bezerra Kato.

Aula de Matemática
	Pra que dividir sem raciocinar Na vida é sempre bom multiplicar E por A mais B Eu quero demonstrar Que gosto imensamente de você Por uma fração infinitesimal, Você criou um caso de cálculo integral E para resolver este problema Eu tenho um teorema banal Quando dois meios se encontram desaparece a fração E se achamos a unidade Está resolvida a questão Prá finalizar, vamos recordar Que menos por menos dá mais amor Se vão as paralelas Ao infinito se encontrar Por que demoram tanto os corações a se integrar? Se infinitamente, incomensuravelmente, Eu estou perdidamente apaixonado por você. Antônio Carlos Jobim

Introdução Números Complexos na Engenharia Elétrica

Fasores e Impedância

          A primeira aplicação de números complexos à teoria de circuitos elétricos parece ter sido realizada pelo cientista alemão Hermann von Helmholtz (1821-1824). A aplicação de números complexos na análise de circuitos elétricos de corrente alternada (CA) foi disseminada nos Estados Unidos por Arthur Edwin (1861-1939) e Charles Steinmetz (1865-1923) com auxílio de Julius Berg (1871-1941) no final do século XIX. Em 1823, Edwin adotou o termo Impedância (inventado porHeaviside) assim como os números complexos para os elementos dos circuitos elétricos CA, o que foi seguido por Steinmetz. Desde então, os números complexos são fundamentais para a Engenharia Elétrica.


          Recordemos rapidamente os números complexos:          Números complexos          As equações algébricas do tipo = -3 não possuem soluções no campo dos números reais. Tais equações podem ser resolvidas somente com a introdução de uma unidade imaginária ou operador imaginário, que representamos pelo símbolo j. Por definição j = . O produto de um número real por um operador imaginária é chamado de número imaginário e a soma de um número real e um número imaginário é chamada número complexo. Assim, um número com a forma a + jb, onde a e bsão números reais, é um número complexo.

          O número complexo é representado por:



          O número complexo é descrito como tendo uma componente real a e uma componente imaginária b, que podem ser representadas por:





          A componente imaginária de não é jb. Por definição, a componente imaginária é um número real.

          Como, qualquer número complexo é completamente caracterizado por um par de números reais, podemos representá-lo num sistema de coordenadas cartesianas.


          Formas de representação dos números complexos

          Existem quatro formas de representação dos números complexos:

1. Forma retangular ou cartesiana;
2. Forma exponencial;
3. Forma polar;
4. Forma trigonométrica.

Confira na nossa página de vídeos, curiosidades sobre os números complexos na engenharia elétrica.

Wirlan Gomes - Calouro de Eng. Elétrica

Helder Barbosa - Eng. Elétrico

          Módulo e Argumento

          Representando esse número complexo no plano de Argand-Gauss, teremos:

          O segmento de reta OP é chamado de módulo do número complexo. O arco formado entre o eixo horizontal positivo e o segmento OP, no sentido anti-horário, é chamado de argumento de z. Observe a figura abaixo para determinarmos as características do argumento de z.

          No triângulo retângulo formado, podemos afirmar que:

          Podemos constatar, também, que:


Ou

          Exemplo 1. Dado o número complexo z = 2 + 2i, determine o módulo e o argumento de z.          Solução: Pelo número complexo z = 2 + 2i, sabemos que a = 2 e b = 2. Segue que:

          Forma Trigonométrica de um Número Complexo          Sabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z. Por exemplo, para o número complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im(z) = 5. Os números complexos também possuem uma forma trigonométrica ou polar, que será demonstrada com base no argumento de z (para z ≠ 0).
Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que:cosӨ = a/p e senӨ = b/p. Essa relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe:

cosӨ = a/p → a = p*cosӨ

senӨ = b/p → b = p*senӨ
          Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi.

z = p*cosӨ + p*senӨi → z = p*( cosӨ + i*senӨ)           Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e radiciações.           Exemplo 1           Represente o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica.           Resolução:           Temos que a = 1 e b = 1

          A forma trigonométrica do complexo z = 1 + i é z = √2*(cos45º + sen45º * i).
          Exemplo 2           Represente trigonometricamente o complexo z = –√3 + i.
Resolução:
a = –√3 e b = 1
          A forma trigonométrica do complexo z = –√3 + i é z = 2*(cos150º + sen150º * i).

Número complexos

O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com esta questão, até a concepção do modelo dos números complexo. Um número complexo é um número que pode ser escrito na forma , em que e são números reais e denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade , sendo que e são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de .

O conjunto dos números complexos, denotado por , contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de mesma denominação nos números reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo algebricamente fechado, sendo que esse fechamento consiste na propriedade que tem o conjunto de possuir todas as soluções de qualquer equação polinomial com coeficientes naquele mesmo conjunto (no caso, o conjunto dos complexos). O conjunto dos números complexos também pode ser entendido por seu isomorfismo com um espaço vetorial sobre , o conjunto dos reais.

Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por:.

O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial, conduz a um espaço normado topologicamente completo.

Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real, , no eixo horizontal e a parte imaginária, , no eixo vertical.

Quatro Operações com Complexos

Consideremos os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di ou, na forma trigonométrica,
z1 = r1cisq1 e z2 = r2cisq2


Adição

Algebricamente, a soma é na forma: z1 + z2 = a + c + (b + d)i

Na notação trigonométrica não há como simplificar.

De notar que, se z e w forem dois complexos: z + w = w + z.



Considerando os números como vectores, geometricamente, a soma de complexos não passa da soma dos vectores que os representam pela "regra do paralelogramo".


Subtração

A subtração de z1 por z2 não é mais que a soma de z1 com o simétrico de z2, ou seja,
z1 - z2 = z1 + (-z2).



Geometricamente, considerando os números como vectores, a subtracção corresponde à adição do primeiro vector com o simétrico do segundo vector.


Multiplicação

O produto de z1 por z2 é o número complexo
z1.z2 = (ac - bd) + (ad + cb)i

ou, na forma trigonométrica z1.z2 = r1r2cis(q1 + q2)

Vejamos a interpretação geométrica do produto de dois complexos, z1 = a + ib e z2 = c + id. Esta operação não corresponde, directamente, a nenhuma operação conhecida entre vectores.

Suponhamos que z2 é um número real, isto é, que d = 0; então o produto de z1 por z2 corresponde ao produto do vector (a, b) pelo número real c. Se c>0, então esta operação corresponde a uma dilatação de razão c do vector z1 e se c<0 corresponde a uma dilatação de razão |c| do mesmo vector, seguida de uma rotação de 180º de centro na origem.

Consideremos, agora, que z2 = i. Neste caso o produto do complexo a + bi por i corresponde à rotação de 90º no sentido directo (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio) e em torno da origem do vector (a, b), obtendo-se o vector (-b, a).

O produto de um complexo a + bi por um imaginário puro ki combina as duas operações anteriores: o produto do vector (a, b) por k, seguido de uma rotação de 90º no sentido directo em torno da origem do vector obtido.

Estas operações podem ser facilmente visualizadas na figura seguinte:

Vejamos agora o produto de um complexo a + bi pelo complexo c + di. Este produto é equivalente a c ´ (a + bi) + di ´ (a + bi), por isso vectorialmente corresponde a:


1. determinar o produto do vector (a,b) pelo número real c; 

2. determinar o produto do vector (a, b) pelo número real d e fazer uma rotação de 90º ao vector obtido

3. adicionar os vectores obtidos em 1. e 2.

Divisão

O quociente entre z1 e z2 é o produto de z1 pelo inverso de z2, ou seja, z1/z2 = z1.z2-1

Na prática, basta multiplicar e dividir z1 por z2 


Potenciação

Chamamos potenciação a uma potência de expoente inteiro.

Tem-se: zn = z . z . ... . z (n vezes), n natural e, na forma trigonométrica zn = rn.cis(nq).

Radiciação

Chamamos radiciação a uma potência de expoente fraccionário.

Cada número complexo tem n raízes índice n, ou seja, a radiciação de números complexos dá-nos um conjunto de raízes.

Observemos que as raízes índice n de um número complexo z são as soluções da equação

wn = z

que, no corpo dos complexos, tem n raízes.


Sendo z = rcis q, as raízes índice n de z são dadas pela fórmula de de Moivre para a radiciação: