Introdução aos números complexos

Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à resolução de equações polinomiais do tipo x2 + 1 = 0. Como os quadrados de números reais são sempre maiores ou iguais a zero, esta equação não tem soluções reais. Resolvê-la corresponde a introduzir números que sejam raízes quadradas de números reais negativos. A primeira referência a esta possibilidade parece ser de H. Cardano, em 1545. Foi seguida, em 1572, pela exposição das propriedades algébricas destes números por R. Bombelli, que também introduziu o símbolo √-1. Em 1748, L. Euler designou este símbolo, a que se chamou "unidade imaginária", por i. Foi também Euler que introduziu em 1747 a expressão eiθ = cosθ + i senθ, da qual obteve como caso particular a espantosa relação eΠi = -1 que relaciona numa mesma expressão os números e, i, θ, Π, que apareceram na nossa história em contextos muito diferentes.

A consideração de números complexos não só se revelou necessária para resolver certas equações polinomiais de segunda ordem como forneceu todas as possíveis soluções de equações polinomiais de qualquer ordem, tanto de coeficientes reais como complexos. Este fato, conhecido por "teorema fundamental da álgebra", foi estabelecido pela primeira vez por C.F. Gauss, em 1816, na sequência de tentativas de vários matemáticos precedentes.

Deve-se também a Gauss a designação "número complexo" e a idéia da relação biunívoca entre números complexos e pontos de um plano, o que permitiu uma definição concreta destes números e abriu caminho ao desenvolvimento do estudo dos números complexos e das funções complexas.

Entretanto, a representação geométrica dos números complexos num plano apareceu também nos trabalhos de C. Wessel, em 1799, e de J. Argand, em 1806, embora tenha passado despercebida aos matemáticos do tempo e não tenha sido explorada para prosseguir o estudo dos números complexos. Finalmente, Gauss comunicou publicamente a identificação dos números complexos com pontos de um plano num seu artigo de 1831, onde propôs definir os números complexos como pares ordenados de números reais com certas propriedades específicas e explorou esta definição e a sua identificação com pontos de um plano. A notação (a,b) para números complexos foi usada pela primeira vez por W.R. Hamilton, em 1837.

H. Cardano

Carl Friedrich Gauss