POEMAS E POESIA

      Leia aqui alguns poemas e poesia relacionados aos números complexos e algo a mais sobre matemática:

Romance Matemático

abril 4, 2010 às 8:46 pm

Dê-me o silêncio…
Para eu dizer que nosso romance é como uma equação
Em que ponho-me, insistentemente;
A descobrir o valor de sua incógnita.
Dê-me o silêncio…
Para eu derrubar todos os axiomas;
Que insistem em dizer que nosso amor é impossível.
Dê-me o silêncio…
Para eu dizer que você é o pivô de minha matriz escalonada;
Que cada virtude que encontro em você
É um determinante para nossa relação.
Dê-me o silêncio…
Para eu dizer que a função que rege minha vida
Consiste em que cada elemento do seu domínio
Está associado a um elemento de meu contra-domínio.
Dê-me o silêncio…
Para eu te mostrar que nossas retas paralelas se encontrarão no infinito.
Dê-me o silêncio…
Para eu dizer que quando contemplo a imagem de seu corpo,
Meus batimentos cardíacos modelam uma cossenóide.
Dê-me o silêncio…
Para te provar que embora sejamos ângulos opostos pelo vértice,
nossas medidas são iguais.
Nesse instante me calo e quem diz tudo é você.

Andreson Costa dos Santos Souza e Alex Bruno Carvalho dos Santos

O Quociente

abril 4, 2010 às 8:47 pm

O quociente perguntou à secante:
- Posso ser seu amante?
Ela, de pronto, respondeu:
- Nunca! Já tenho um amor,
- É o terno denominador…

Logo, então, se sentiu um resto.
Não era mais um número inteiro…
Passou, então, por perto a tangente,
Que caminhava para o infinito
Para se encontrar sabe lá com quem.
Perguntou aflito:
- Onde poso encontrar as paralelas?
Ela, então, respondeu:
- Talvez nunca.

Surgiu, então, do menos infinito, a esfera.
Bela e radiosa, logo esqueceu a secante.
Calculou seu manequim,
Mas se achou muito pequeno para tanto volume…

O quociente ficou triste,
Transformou-se em um número complexo
E numa relação unívoca,
Partiu para o esquecimento,
Tornando-se um ângulo obtuso.

André M. Hemerly

Amormetria

abril 4, 2010 às 8:58 pm

(Autor Desconhecido)

Dê-me um apoio (centro)
Num piscar de olhos me transformo em um compasso
Giro 90º, 180º, 270º, 360º graus
Volta completa na circunferência chamada vida.

Dê-me uma régua ou uma trena
Com ela conseguirei medir ou não nossa distância
Que parece infinita.

Dê-me um transferidor para medirmos os graus do nosso amor.
Um esquadro
Quem sabe ele possa nos enquadrar.

Dê-me um ponto
Por ele passarei infinitos segmentos de sentimentos
Paixão, amor, raiva, ressentimento, gratidão…

Só não me limite com dois pontos
Pois, não saberia que segmento de sentimento
Passaria por eles.

Edi Santana Barbosa
Professor da rede Estadual e municipal de Juazeiro BA
Pós-graduado em Metodologia e Didática do Ensino Superior.




  Equacionando o amor

	Considerando a seguinte afirmação: O amor é o produto de um homem com uma mulher. Chamando eu (o homem) de a e você (a mulher) de b, temos: amor = a*b Agora, se somarmos a segunda potência do homem com a segunda potência da mulher e o amor de cada um formaremos o trinômio quadrado perfeito: a*a + 2*a*b + b*b Porém, se extrairmos a raiz quadrada dessa equação irá sobrar apenas eu e você, ou seja, irá sobra a+b, pois (a+b)*(a+b) = a*a + 2*a*b + b*b. Agora eu pergunto: Cadê o amor? Será que ele não existe? A resposta é essa: O amor existe, mas não podemos vê-lo porque está em nossos corações. Amo-te muito, mesmo que você não perceba, não quer dizer que este amor não exista. Renato Bezerra Kato.

Aula de Matemática
	Pra que dividir sem raciocinar Na vida é sempre bom multiplicar E por A mais B Eu quero demonstrar Que gosto imensamente de você Por uma fração infinitesimal, Você criou um caso de cálculo integral E para resolver este problema Eu tenho um teorema banal Quando dois meios se encontram desaparece a fração E se achamos a unidade Está resolvida a questão Prá finalizar, vamos recordar Que menos por menos dá mais amor Se vão as paralelas Ao infinito se encontrar Por que demoram tanto os corações a se integrar? Se infinitamente, incomensuravelmente, Eu estou perdidamente apaixonado por você. Antônio Carlos Jobim

Introdução Números Complexos na Engenharia Elétrica

Fasores e Impedância

          A primeira aplicação de números complexos à teoria de circuitos elétricos parece ter sido realizada pelo cientista alemão Hermann von Helmholtz (1821-1824). A aplicação de números complexos na análise de circuitos elétricos de corrente alternada (CA) foi disseminada nos Estados Unidos por Arthur Edwin (1861-1939) e Charles Steinmetz (1865-1923) com auxílio de Julius Berg (1871-1941) no final do século XIX. Em 1823, Edwin adotou o termo Impedância (inventado porHeaviside) assim como os números complexos para os elementos dos circuitos elétricos CA, o que foi seguido por Steinmetz. Desde então, os números complexos são fundamentais para a Engenharia Elétrica.


          Recordemos rapidamente os números complexos:          Números complexos          As equações algébricas do tipo = -3 não possuem soluções no campo dos números reais. Tais equações podem ser resolvidas somente com a introdução de uma unidade imaginária ou operador imaginário, que representamos pelo símbolo j. Por definição j = . O produto de um número real por um operador imaginária é chamado de número imaginário e a soma de um número real e um número imaginário é chamada número complexo. Assim, um número com a forma a + jb, onde a e bsão números reais, é um número complexo.

          O número complexo é representado por:



          O número complexo é descrito como tendo uma componente real a e uma componente imaginária b, que podem ser representadas por:





          A componente imaginária de não é jb. Por definição, a componente imaginária é um número real.

          Como, qualquer número complexo é completamente caracterizado por um par de números reais, podemos representá-lo num sistema de coordenadas cartesianas.


          Formas de representação dos números complexos

          Existem quatro formas de representação dos números complexos:

1. Forma retangular ou cartesiana;
2. Forma exponencial;
3. Forma polar;
4. Forma trigonométrica.

Confira na nossa página de vídeos, curiosidades sobre os números complexos na engenharia elétrica.

Wirlan Gomes - Calouro de Eng. Elétrica

Helder Barbosa - Eng. Elétrico

          Módulo e Argumento

          Representando esse número complexo no plano de Argand-Gauss, teremos:

          O segmento de reta OP é chamado de módulo do número complexo. O arco formado entre o eixo horizontal positivo e o segmento OP, no sentido anti-horário, é chamado de argumento de z. Observe a figura abaixo para determinarmos as características do argumento de z.

          No triângulo retângulo formado, podemos afirmar que:

          Podemos constatar, também, que:


Ou

          Exemplo 1. Dado o número complexo z = 2 + 2i, determine o módulo e o argumento de z.          Solução: Pelo número complexo z = 2 + 2i, sabemos que a = 2 e b = 2. Segue que:

          Forma Trigonométrica de um Número Complexo          Sabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z. Por exemplo, para o número complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im(z) = 5. Os números complexos também possuem uma forma trigonométrica ou polar, que será demonstrada com base no argumento de z (para z ≠ 0).
Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que:cosӨ = a/p e senӨ = b/p. Essa relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe:

cosӨ = a/p → a = p*cosӨ

senӨ = b/p → b = p*senӨ
          Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi.

z = p*cosӨ + p*senӨi → z = p*( cosӨ + i*senӨ)           Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e radiciações.           Exemplo 1           Represente o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica.           Resolução:           Temos que a = 1 e b = 1

          A forma trigonométrica do complexo z = 1 + i é z = √2*(cos45º + sen45º * i).
          Exemplo 2           Represente trigonometricamente o complexo z = –√3 + i.
Resolução:
a = –√3 e b = 1
          A forma trigonométrica do complexo z = –√3 + i é z = 2*(cos150º + sen150º * i).

Número complexos

O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com esta questão, até a concepção do modelo dos números complexo. Um número complexo é um número que pode ser escrito na forma , em que e são números reais e denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade , sendo que e são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de .

O conjunto dos números complexos, denotado por , contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de mesma denominação nos números reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo algebricamente fechado, sendo que esse fechamento consiste na propriedade que tem o conjunto de possuir todas as soluções de qualquer equação polinomial com coeficientes naquele mesmo conjunto (no caso, o conjunto dos complexos). O conjunto dos números complexos também pode ser entendido por seu isomorfismo com um espaço vetorial sobre , o conjunto dos reais.

Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por:.

O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial, conduz a um espaço normado topologicamente completo.

Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real, , no eixo horizontal e a parte imaginária, , no eixo vertical.

Quatro Operações com Complexos

Consideremos os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di ou, na forma trigonométrica,
z1 = r1cisq1 e z2 = r2cisq2


Adição

Algebricamente, a soma é na forma: z1 + z2 = a + c + (b + d)i

Na notação trigonométrica não há como simplificar.

De notar que, se z e w forem dois complexos: z + w = w + z.



Considerando os números como vectores, geometricamente, a soma de complexos não passa da soma dos vectores que os representam pela "regra do paralelogramo".


Subtração

A subtração de z1 por z2 não é mais que a soma de z1 com o simétrico de z2, ou seja,
z1 - z2 = z1 + (-z2).



Geometricamente, considerando os números como vectores, a subtracção corresponde à adição do primeiro vector com o simétrico do segundo vector.


Multiplicação

O produto de z1 por z2 é o número complexo
z1.z2 = (ac - bd) + (ad + cb)i

ou, na forma trigonométrica z1.z2 = r1r2cis(q1 + q2)

Vejamos a interpretação geométrica do produto de dois complexos, z1 = a + ib e z2 = c + id. Esta operação não corresponde, directamente, a nenhuma operação conhecida entre vectores.

Suponhamos que z2 é um número real, isto é, que d = 0; então o produto de z1 por z2 corresponde ao produto do vector (a, b) pelo número real c. Se c>0, então esta operação corresponde a uma dilatação de razão c do vector z1 e se c<0 corresponde a uma dilatação de razão |c| do mesmo vector, seguida de uma rotação de 180º de centro na origem.

Consideremos, agora, que z2 = i. Neste caso o produto do complexo a + bi por i corresponde à rotação de 90º no sentido directo (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio) e em torno da origem do vector (a, b), obtendo-se o vector (-b, a).

O produto de um complexo a + bi por um imaginário puro ki combina as duas operações anteriores: o produto do vector (a, b) por k, seguido de uma rotação de 90º no sentido directo em torno da origem do vector obtido.

Estas operações podem ser facilmente visualizadas na figura seguinte:

Vejamos agora o produto de um complexo a + bi pelo complexo c + di. Este produto é equivalente a c ´ (a + bi) + di ´ (a + bi), por isso vectorialmente corresponde a:


1. determinar o produto do vector (a,b) pelo número real c; 

2. determinar o produto do vector (a, b) pelo número real d e fazer uma rotação de 90º ao vector obtido

3. adicionar os vectores obtidos em 1. e 2.

Divisão

O quociente entre z1 e z2 é o produto de z1 pelo inverso de z2, ou seja, z1/z2 = z1.z2-1

Na prática, basta multiplicar e dividir z1 por z2 


Potenciação

Chamamos potenciação a uma potência de expoente inteiro.

Tem-se: zn = z . z . ... . z (n vezes), n natural e, na forma trigonométrica zn = rn.cis(nq).

Radiciação

Chamamos radiciação a uma potência de expoente fraccionário.

Cada número complexo tem n raízes índice n, ou seja, a radiciação de números complexos dá-nos um conjunto de raízes.

Observemos que as raízes índice n de um número complexo z são as soluções da equação

wn = z

que, no corpo dos complexos, tem n raízes.


Sendo z = rcis q, as raízes índice n de z são dadas pela fórmula de de Moivre para a radiciação:

Introdução aos números complexos

Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à resolução de equações polinomiais do tipo x2 + 1 = 0. Como os quadrados de números reais são sempre maiores ou iguais a zero, esta equação não tem soluções reais. Resolvê-la corresponde a introduzir números que sejam raízes quadradas de números reais negativos. A primeira referência a esta possibilidade parece ser de H. Cardano, em 1545. Foi seguida, em 1572, pela exposição das propriedades algébricas destes números por R. Bombelli, que também introduziu o símbolo √-1. Em 1748, L. Euler designou este símbolo, a que se chamou "unidade imaginária", por i. Foi também Euler que introduziu em 1747 a expressão eiθ = cosθ + i senθ, da qual obteve como caso particular a espantosa relação eΠi = -1 que relaciona numa mesma expressão os números e, i, θ, Π, que apareceram na nossa história em contextos muito diferentes.

A consideração de números complexos não só se revelou necessária para resolver certas equações polinomiais de segunda ordem como forneceu todas as possíveis soluções de equações polinomiais de qualquer ordem, tanto de coeficientes reais como complexos. Este fato, conhecido por "teorema fundamental da álgebra", foi estabelecido pela primeira vez por C.F. Gauss, em 1816, na sequência de tentativas de vários matemáticos precedentes.

Deve-se também a Gauss a designação "número complexo" e a idéia da relação biunívoca entre números complexos e pontos de um plano, o que permitiu uma definição concreta destes números e abriu caminho ao desenvolvimento do estudo dos números complexos e das funções complexas.

Entretanto, a representação geométrica dos números complexos num plano apareceu também nos trabalhos de C. Wessel, em 1799, e de J. Argand, em 1806, embora tenha passado despercebida aos matemáticos do tempo e não tenha sido explorada para prosseguir o estudo dos números complexos. Finalmente, Gauss comunicou publicamente a identificação dos números complexos com pontos de um plano num seu artigo de 1831, onde propôs definir os números complexos como pares ordenados de números reais com certas propriedades específicas e explorou esta definição e a sua identificação com pontos de um plano. A notação (a,b) para números complexos foi usada pela primeira vez por W.R. Hamilton, em 1837.

H. Cardano

Carl Friedrich Gauss

Módulo de um Número Complexo

    Continuando, visaremos a partir de agora, o assunto módulo de um número complexo, e como utiliza-lo no dia-a-dia. Pronto? Vamos começar sabendo o que é um Módulo de um Número Complexos

 

Temos duas formas de abordar o módulo de um número complexo, ambas apontando para a mesma definição, que é acerca doo comprimento, ou da distância do afixo do número complexo (Ponto C na imagem abaixo) até a origem do sistema de coordenadas. Vejamos a representação geométrica do que foi dito:

  O módulo no gráfico acima está sendo representado por |z|, veja que se aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo AOC, podemos obter uma expressão para o módulo de z , |z|.

  Veja que foi utilizado um número complexo qualquer, portanto, a expressão obtida para o módulo de um número complexo é válida para qualquer número complexo.

  Foi mostrado anteriormente duas formas do módulo número complexo: sendo calculado algebricamente pela expressão acima e o módulo sendo representado geometricamente.

  Analise o quanto é fácil encontrar o módulo de um número complexo:

  Assim, podemos encontrar um conjunto no qual as distâncias sejam iguais a um determinado número.

   Represente no plano de Argand-Gauss, o subconjunto A do conjunto dos números complexos, onde:

  Necessitamos determinar um valor qualquer para o número complexo w, portanto, façamos w=x+yi, onde que x e y são números reais.

  Note que se trata de uma equação de uma circunferência de centro (0,0) e raio 5.xo:

Sendo assim, vimos algumas das aplicações do conceito de módulo, assim como a expressão para calculá-lo.